マスに「3~11」全ての数字を入れ合計を同じにする問題!解けたら天才!

mondai

正方形の中に作ったマスの中に、連続した数字を縦・横・斜めの合計がすべて同じになるように、ひとつずつ配置したものを魔方陣といいます。
1から9までの数字を使ってできた3×3の魔方陣はよく知られています。今回はマスの中に入れる数字を別のものにしてみました。
この魔方陣を作ることができれば、3×3の魔方陣はいつでも完成できるようになるかもしれません。


mondai

-問題

マス(方陣といいます)の中に3~11までの数字をひとつずつ入れて、縦・横・斜めの合計がすべて同じになるようにしてください。

-縦や横、斜めの合計はいくつになるのでしょうか

思いつくままに数字を書き込んでいくだけでは答えが出るまでにかなり時間がかかります。縦や横、斜めの合計はいくつになるのかを考えてみましょう。
それぞれのマスに入る数字の代わりに9個のアルファベット A、B、C、D、E、F、G、H、I を入れてみます。

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横の列の合計はすべて同じですから、A+B+C=D+E+F=G+H+I となります。
このことと A+B+C+D+E+F+G+H+I=63 から 3(A+B+C)=63 という式が出てきます。つまり A+B+C=21 ということですから、この魔方陣では縦・横・斜めの合計は21になるということがわかりました。合計すると21になる3つの数字を見つけましょう。
そのようになる3つの数字の組み合わせは、(3 7 11)、(3 8 10)、(4 6 11)、(4 7 10)、(4 8 9)、(5 6 10)、(5 7 9)、(6 7 8) の8通りです。

-真ん中に入る数字を求めましょう

真ん中にEが含まれている列は4列あって、各列の合計は21ですから、このことを式に表すと次のようになります。
(B+E+H)+(D+E+F)+(A+E+I)+(C+E+G)=84 → A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=84 → 63+3E=84 → 3E=21 よりE=7 つまり、真ん中に入る数字は7です。 

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合計が21になる3つの数字の組み合わせのうち7が含まれているのは、(3 7 11)、(4 7 10)、(5 7 9)、(6 7 8) の4通りです。とりあえず、(3 7 11)の3つの数字の組を斜めに配置してみましょう。

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合計が21になる3つの数の組のうち3を含んでいるのは(3 7 11)を除くと(3 8 10)の1組だけですから、この1組は3の上側か右側にしか配置できません。つまり、この3つの数字の組は斜めに配置することはできないということです。では縦に配置してみましょう。もちろん横に配置しても構いません。

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ここまでできたら、あとは3つの数字の合計が21になるように考えながら数字を配置していきましょう。

-答えです。

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自分の答えと違うよ~。とい人いませんか。この魔方陣を裏返したり回転したりしているものも同じものと考えてください。
説明が少し長くなりましたが、慣れると一人ででも簡単に数字を配置できるようになります。
今回は3×3の魔方陣を完成するという問題でした。最初にいくつかのマスに数字が配置されている魔方陣で、残りの数字を配置するという問題もあります。ただし、この場合は9個の数字はわかっていないのですけどね。魔方陣を完成するだけではなく、こんな問題にもぜひ挑戦してください。

(秒刊サンデー:わらびもち